Pengembangan barisan bilangan tingkat 1 dan 2

Pengembangan barisan bilangan tingkat 1 dan 2

 

Selama ini kita yang sudah lulus SMP sudah belajar matematika bab barisan bilangan dan deret. Kits sudah tahu beberap rumus dasarnya. Nah sekarang aku akan memberikan beberapa informasi pengembangan dari materi tersebut:

1). Bentuk lain barisan bilangan tingkat 1

selama ini kita sudah tahu barisan bilangan aritmatik tingkat 1 bentuknya seperti ini:

1). Un = a+ (n-1)b.

2). Sn = n(U1 + Un)/ 2 = n(a+ Un)/2 = n(2a + (n-1)b/2.

aku ingin memberitahukan kalau ada bentuk lain dari barisan aritmatik di atas. bentuk lain di atas adalah:

3) Un = an + b

4) Un = a + bn

nilai  a dan b pada persamaan 3) dan 4) berbeda dengan  nilai a dan b pada persamaan 1).  agar tampak berbeda aku susun begini:

5)Un = p +qn

6) Un = Pn + q

p + q = a = U1 nilai q = b pada persamaan 5) dan 3).  pada persamaan 6) p = b.  p +q = a = U1.

bentuk formalnya aku tetapkan: Un = an + b.

bentuk ini dapat kita lihat faktanya pada barisan-barisan bilangan tertentu seperti: 7)

  • barisan bilangan asli: Un = n
  • barisan bilangan ganjil: Un = 2n – 1
  • barisan bilangan genap: Un = 2n

kalau mengikuti bentuk umum harusnya :

  • barisan bilangan asli: Un = 1 + (n-1)1.
  • barisan bilangan ganjil: Un = 1 + (n-1)2.
  • barisan bilangan genap: Un = 0 + (n-1)2.

bentuk yang seharusnya dari 3 barisan di atas disederhanakan sehingga membentuk bentuk 7).

bentuk umum an + b bisa memiliki beberapa akibat seperti:

> bentuk Un = an + b memiliki hubungan dengan fungsi linier dan persamaan variabel yaitu f(x) = ax+b dan y = ax +b.

>bentuk Un = an+b konsisten dengan fungsi-fungsi berikutnya yaitu:

  • barisan bilangan tingkat 2: Un = an^2 + bn + c
  • barisan bilangan tingkat 3: Un = an^3 + bn^2 + cn + d
  • barisan bilangan tingat 4: Un = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e

dan seterusnya. tingkat pada barisan bilangan tingkat ditentukan dari pangkat tertinggi n. bentuk ini juga berhubungan dengan berapa kedalaman sampai menemukan selisih yang sama antar suku.

> bentuk barisan bilangan di atas memiliki hubungan dengan polinom, aljabar yang nanti berhubungan dengan persamaan x, segitiga pascal dan kombinasi.

dengan begitu bentuk lain Un = an + b adalah bentuk lain barisan bilangan tingkat 1 yang konsisten dengan rumus barisan bilangan tingkat berikutnya.

 

2). barisan bilangan tingkat 1 adalah: Un = a + (n-1)b.  a = suku pertama. b = selisih antar suku. n = nomor urut barisan. tiba-tiba bentuk barisan bilangan barisan bilangan tingkat 2 adalah Un = an^2 + bn + c. ini adalah bentuk yang tidak konsisten. kalau mau konsisten bentuk barisan bilangan tingkat 2 seharusnya adalah:

Un = a + (n-1)b + (n-1)(n-2)c/2

a = suku pertama = U1.

b = selisih suku pertama dengan suku kedua = U2 – U1.

c = selisih antar selisih b sebab kenyataanya antar suku b tidak sama. ada b1, b2, b3 yang berbeda.

b1 = U2 – U1

b2 = U3 – U2.

b3 = U4 – U3.

kalau teman-teman hitung nilai b1 tidak sama dengan b2 dan tidak sama dengan b3. maka c = b2 – b1. di  barisan bilangan tingkat 2 b2 – b1 = b3 – b2 = c. inilah c.

bentuknya seperti ini:

U: U1,U2,U3U4, …

b: b1, b2, b3 ,…

c: c,c,c,c …

jadi rumus di ataslah bentuk yang lain yang aku maksud:

Un = a + (n-1)b + (n-1)(n-2)c/2

rumus ini konsisten dengan barisan bilangan tingkat 1:

Un = a +(n-1)b.

rumus ini nanti bisa dikembangkan lebih lanjut untuk barisan bilangan tingkat 3,4,5 dan seterusnya.

3). Rumus deret bilangan tingkat 2

kita semua sudah tahu deret barisan bilangan tingkat 1:

Sn = n(2a +(n-1)b)2 = n(a+Un)/2 = n(U1+Un)2.

sekarang bagaimana kalau barisan bilangan tingkat 2?

bagaimana cara menghitung deretnya? apakah kita akan menjumlahkan satu persatu gitu? kalau barisan bilangan tingkat 1 ada rumusnya, tapi kalau tingkat 2?

ini aku beritahu rumusnya:

untuk barisan bilangan tingkat 2;

Sn = na + n(n-1)/2.b + n(n-1)(n-2)/6.c

= n/6 .(6a + 3(n-1)b + (n-1)(n-2)c)

= n/2(2a + (n-1)b + (n-1)(n-2)/3.c)

rumus di atas kelihatannya beda-beda tapi intinya sama. intinya adalah bentuk baris pertama Sn.

a = U1 = suku pertama.

b = selisih pertama =  U2 – U1.

c = b2 – b1 dengan nilai:

b1 = U2 – U1.

b2 = U3 – U2.

bentuk ini berbeda dari umumnya.

4). Bentuk barisan bilangan yang konsisten

Setelah tahu bentuk-bentuk di atas maka kita bisamenyusun barisan bilangan tingkat 1 dan 2 yang konsisten.  Bentuk ada yang model polinom dan model selisih.

Model polinom:

  • Un =An + b
  • Un = An^2 + bn +c
  • Un = An^3 + bn^2 + cn + d

….

Model selisih:

  • Un = a + (n-1)b
  • Un = a + (n-1)b + (n-1)(n-2)/2.c

Bentuk yang konsisten ini berbeda dari umumnya, tapi ini hanya menyamakan bentuk dan pola agar tidak rumit. Nantinya bisadikembangkan lebih lanjut.