keajaiban penjumlahan beruntun

ada salah satu rumus matematika yang menurutku ajaib sehingga layak disebut keajaiban dan keindahan matematika. rumus ini begini:

1 + x + x^2 + x^3 + … = 1/(1 – x), x<1.

rumus di atas ajaib karena dengan rumus di atas kita bisa tahu jumlah dari penjumlahan tak hingga padahal kita tidak tahu angka terakhir dari penjumlahan itu. kita juga takkan pernah bisa tahu dan menyelesaikan berapa angka yang akan muncul. itu di luar jangkauan kemampuan manusia, tapi aneh bin ajaibnya kita bisa tahu jumlah dari semuanya. contohnya seperti ini:

1 + 1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 2

1 +1/3 + 1/9 + 1/27 + … = 1/2

ada banyak lagi penjumlahan beruntun yang bisa dibuat tak hingga banyaknya.

rumus di atas didapatkan dari rumus jumlah derat tak hingga barisan geometri. rumusnya S∞ = a/(1-r). pada rumus di atas a = 1, r = x.

kalau penjumlahan itu sampai angka tertentu makanya namanya Sn. di sini ada 2 rumus, yaitu untuk r 1. untuk r > 1 => Sn = a(r^n -1)/(r- 1).

untuk r Sn = a (1 -r^n)/(1 – r).

a = angka pertama = U1

r = rasio barisan geometri.

itu tadi untuk barisan geometri. sedangkan untuk barisan aritmatik, penjumlahan beruntunnya yang disebut deret artimatik memiliki rumus dasar Sn = n(U1 + Un)/2 = n(2a + (n-1)b)/2.

a = angka pertama = U1.

n = suku/ nomor urut barisan bilangan.

b = selisih.

deret aritmatik bisa membawa kita pada trik cepat penjumlahan beruntun barisan-barisan bilangan tertentu yang unik dan membentuk pola tertentu seperti berikut:

a. barisan dimensi satu:

deret bilangan asli 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2

deret bilangan ganjil  1+ 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2 atau 1 + 3 + 5 +  … + n =((n+1)/2)^2

deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + … +2n = n(n+1)

b. barisan dimensi dua:

deret segitiga 1 + 3 + 6 + … + (n(n+1)/2) = n(n+1)(n+2)/6

deret persegi 1 + 4 + 9 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

deret persegi panjang 2 + 6 + 12 + … + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

c. barisan dimensi tiga:

deret kubik 1 + 8 + 27 + … + n^3 = (n(n+1)/2)^2

deret balok 6 + 24 + 60 + 120  + … + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4

 

dengan terik-trik itu kita bisa mmbuat keajaiban penghitungn cepat penjumlahan beruntun dengan cepat dan benar. kita tidak perlu lagi menjumlahkan satu persatu, bahkan kita bisa menjumlahkan sampai tak hingga seperti barisan geometri tak hingga di atas. trik ini bermanfaat juga untuk memudahkan hidup berupa menghemat waktu, pikiran dan tenaga untuk menghitung ketika menghadapi persoalan-persoalan semacam itu. ya nggak? 🙂