di dalam himpunan bilangan asli

kita telah mengenal bilangan asli sejak pertama kali mengenal matematika. kita mengetahui bilangan asli adalah bilangan  yang beranggotakan 1,2,3 ,  dan seterusnya. bilangan asli merupakan bilangan yang paling mudah dan yang paling sering ditemui seperti nomor HP, plat nomor, nomor lantai dan sebagainya. bilangan asli memiliki anggota tak terbatas yang membuat berbagai kemungkinan dapat terjadi lebih dalam.

para ilmuwan telah mengkaji bilangan asli kemudian menemukan berbagai kelompok di dalam bilangan asli. kelompok-kelompok itu semua dapat disebut himpunan karena semua memiliki definisi yang jelas, tapi ada yang dibedakan sebagai himpunan saja dan ada yang termasuk pola bilangan. yang termasuk pola bilangan adalah bilangan-bilangan yang memiliki pola tertentu yang jelas sehingga pola atau rumusnya dapat dijelaskan. himpunan bilangan yang memiliki pola dapat dibuat menjadi barisan bilangan.

untuk lebih mudahnya berikutnya akan kita bedakan. semua himpunan bilangan yang memiliki pola kita sebut barisan bilangan sedangkan yang tidak memiliki pola kita sebut himpunan saja.

langsung saja kita periksa:

A). barisan bilangan ganjil.

himpunan bilangan ganjil adalah himpunan bilangan-bilangan yang tidak dapat dibagi 2. anggotanya yaitu: 1 ,3, 5, 7, 9, …

anggota himpunan ini tak terbatas dan antar bilangan memiliki selisih yang sama, yaitu 2. oleh karena itu himpunan ini termasuk barisan bilangan.

barisan ini memiliki rumus Un = 2n – 1 dan Sn = n^2.

Barisan: 1, 3, 5, 7, 9, …

Deret: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n – 1

Jumlah n suku pertama: Sn = n²

B).  barisan bilangan genap

himpunan bilangan genap adalah himpunan bilangan-bilangan yang dapat dibagi 2. anggota-anggotanya yaitu: 2, 4, 6, …

antar anggota himpunan ini memiliki selisih sama, yaitu 2 juga. jadi termasuk barisan bilangan. barisan bilangan ini memiliki rumus Un = 2n dan Sn = n(n+1)

Barisan: 2, 4, 6, 8, …

Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 2n

Jumlah n suku pertama: Sn = n² + n

C). himpunan bilangan prima

bilangan prima adalah bilangan yang memiliki 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. bilangan ini anggotanya di antaranya: 2, 3, 5, 7, 11, …

bilangan ini belum diketahui memiliki pola yang jelas. oleh karena itu tidak termasuk barisan bilangan.

D). himpunan bilangan komposit

bilangan komposit adalah kebalikan dari bilangan prima, yaitu segala bilangan yang punya faktor lebih 2. jadi lebih banyak dan meskipun memiliki pola, dapat dikatakan dia memiliki semua pola jadi tak punya pola khusus yang unik. akibatnya bilangan komposit tidak termasuk barisan bilangan. contohnya: 4, 6, 8, 9, 10, …

E). barisan bilangan sempurna

bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah seluruh faktornya kecuali dia sendiri sama dengan dirinya. contohnya: 6, 28, 496, 8128.

faktor 6 adalah 1,2,3,6. jika kita menjumlahkan semua faktor tersebut kecuali 6 maka 1 + 2 + 3 = 6. begitu juga dengan 28. faktor 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

bilangan sempurna diketahui memiliki rumus 2^(n-1) x (2^n -1).   contoh n = 7. maka hasilnya 64 x 127 = 8128.

F). Himpunan Bilangan setengah sempurna (semi perfect numbers)
Bilangan setengah sempurna adalah bilangan yang jumlah sebagian pembaginya sama dengan bilangan itu sendiri. Contohnya bilangan setengah sempurna adalah 18 yang merupakan hasil dari penjumlahan 3,6 dan 9 yang juga merupakan faktor-faktornya.

G). Himpunan Bilangan berbahagia (happy numbers)
Bilangan berbahagia adalah bilangan yang jumlah kuadrat angka-angkanya pada akhirnya akan mendapatkan jumlah sama dengan satu. Misalnya adalah 203,
Dari contoh dapat dilihat bahwa 203 termasuk bilangan berbahagia karena pada akhir penjumlahan kuadrat angka-angkanya menghasilkan satu.

2^2 + 0^2 + 3^2 = 13. 1^2 + 3^2 = 10. 1^2 + 0^2 = 1.
H). Himpunan Bilangan bersahabat (amicable numbers)
Bilangan bersahabat melibatkan dua bilangan, dua bilangan dikatakan bersahabat jika jumlah faktor-faktor bilangan pertama (kecuali dirinya sendiri) sama dengan bilangan kedua, begitupun sebaliknya.contoh dari bilangan bersahabat adalah 2620 dan 2924. Berikut penguraiannya :
Faktor dari 2620 = {1,2,4,5,10,20,131,262,524,655,1310,2620}
Jumlah faktor-faktornya adalah 1+2+4+5+10+20+131+262+524+655+1310 = 2924 ,akan mendapatkan hasil yang sama jika dilakukan sebaliknya.

I). Himpunan bilangan sosial (sociable numbers)
bilangan sosial hampir sama dengan bilangan bersahabat, namun bilangan sosial terdapat di dalam kelompok yang lebih besar. Maksudnya adalah jika bilangan bersahabat hanya melibatkan dua bilangan maka bilangan sosial melibatkan lebih dari dua bilangan. Dalam bilangan sosial jumlah faktor-faktor bilangan pertama (kecuali dirinya sendiri) sama dengan bilangan kedua, jumlah faktor-faktor bilangan kedua sama dengan bilangan ketiga, begitu seterusnya hingga pada bilangan terakhir jumlah faktor-faktornya sama dengan bilangan pertama. Contoh dari kelompok bilangan sosial adalah {12496,14288,15472,14536,14264}. Yang perlu di ingat adalah dalam kelompok bilangan sosial tidak memperhatikan urutan dari kecil ke besar ataupun dari besar kekecil (bebas).

I).  Himpunan Bilangan palindrom (palindromic numbers)
Palindrom merupakan kata yang sama baik jika di baca dari kiri kekanan maupun dari kanan kekiri, misalnya adalah kata ini, kayak dan malam. Begitupun pada bilangan, bilangan polindrom adalah bilangan yang sama jika dilihat dari kiri kekanan maupun dari kiri kekanan. Contoh bilangan palindrom adalah 11, 121, 15400451 dan lainnya.

J). Himpunan Bilangan berlimpah (abundant numbers)
Bilangan berlimpah adalah bilangan yang jumlah faktor-faktor sjatinya lebih besar dari bilangan itu. Misalnya 24 yang mempunyai faktor sejati {1,2,3,4,6,8,12}. 1+2+3+4+6+8+12 =36 , 36>24.

K). Himpunan Bilangan berkekurangan (deficient numbers)
kebalikan dari bilangan berlimpah, bilangan berkekurangan adalah bilangan yang jumlah fakor-faktor sejatinya lebih kecil dari bilangan itu sendiri. Contohnya, 16={1,2,4,8}, 1+2+4+8=15, 15<16 .

M). Himpunan Bilangan aneh / tidak wajar (weird numbers)
Bilangan aneh adalah bilangan yang berlimpah namun tidak setengah sempurna. Misalnya adalah 70. Faktor sejati dari 70 adalah {1,2,5,7,10,14,35} dan 1+2+5+7+10+14+35=74, tetapi 70 tidak sama dengan jumlah beberapa faktor sejatinya.

N). Barisan bilangan persegi

himpunan bilangan persegi adalah himpunan bilangan-bilangan yang membentuk pola persegi. bilangan yang membentuk pola persegi adalah bilangan-bilangan kuadrat. jadi himpunan bilangan persegi adalah himpunan bilangan kuadrat, atau hasil kuadrat bilangan asli berurutan 1^2, 2^2, 3^2, 4^2 dan seterusnya. himpunan ini beranggota 1, 4, 9, 16, …

rumus Un himpunan ini UNn = n^2. himpunan ini termasuk pola dan barisan bilangan. barisan bilangan persegi sebenarnya adalah hasil dari deret bilangan ganjil.

Barisan: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …

Deret: 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n²

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )

O). Barisan bilangan segitiga

himpunan bilangan segitiga adalah himpunan bilangan-bilangan yang membentuk pola segitiga. pola ini terbentuk dari penyusunan sebuah titik berurutan1 ,2, 3 dan seterusnya secara vertikal bertingkat kemudian menghitung total semua titik. himpunan bilangan segitiga beranggotakan: 1, 3, 6, 10, 15, …

rumus Un bilangan ini = n(n+1)/2. barisan bilangan segitiga sebenarnya adalah hasil dari deret bilangan asli.

Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …

Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …

Rumus Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

P). Barisan bilangan persegi panjang

pola bilangan persegi panjang adalah pola bilangan yang menghasilkan bentuk persegi panjang. pola ini terdiri dari bilangan-bilangan 2, 6, 12, 20,…

Un= n(n+1). barisan bilangan persegi adalah hasil penjumlahan beruntun deret bilangan genap.

Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …

Deret: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Q). Barisan bilangan fibonacci

barisan bilangan fibonacci adalah barisan bilangan yang nilai angka setiap sukunya dihasilkan dari penjumlahan dua suku sebelumnya. pada awalnya kita bebas memilih angka apapun lalu kita jumlahkan. contohnya sebagai berikut:

30, 25, 55, 80, 135, 215, 350, 565, …

55 = 30 + 25, 80 = 55 + 25, 135 = 80 + 55 dan selanjutnya.

jika kita teliti secara aljabar maka akan menjadi:

x, y, x+y, x+2y, 2x+3y, 3x+5y, 5x+8y, 8x+13y, …

koefisien x dan y setiap suku tidak sam, tapi semua koefisien itu akan sama-sama membentuk barisan:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

angka-angka di atas itulah barisan fibonacci. jika kita menghitung selisih tiap suku, selisih akan membentuk barisan di atas itu pula. jadi selisih antar suku sama dengan barisan itu sendiri.

barisan fibonacci memiliki keistimewaan lagi, yaitu angka setiap sukunya jika dibagi suku sebelumnya persis maka hasilnya akan mendekati limit angka tertentu yaitu 1,618… angka itu secara real ditulis (1+√5)/2.  bilangan1,618 atau  (1+√5)/2 itu istimewa dan diberi nama phi atau golden ratio. phi, golden ratio dan barisan fibonacci banyak terdapat di alam, kehidupan, manusia dan seni.

R). Barisan bilangan kubik/ kubus

barisan bilangan kubik atau kubus adalah barisan bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan kubik. jika digambarkan mereka akan membentuk bangun kubus. bilangan ini beranggotakan: 1, 8, 27, 64 dan seterusnya.

Un= n^3.

Barisan: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …

Deret: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n³

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²

S). Barisan bilangan balok

barisan bilangan balok adalah barisan bilangan yang membentuk pola berbentuk balok. bilangan-bilangan ini beranggotakan 6, 24, 60, 120, …

Barisan: 6, 24, 60, 120, …

Deret: 6 + 24 + 60 + 120 + …

Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

itulah beberapa himpunan dan barisan bilangan yang kita ketahui. barisan di atas adalah barisan yang baku dan banyak digunakan. selain di atas kita bisa membuat barisan dan pola sendiri. ada dua barisan bilangan yang dapat dibuat yaitu

  1. Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan dimana suku selanjutnya diperoleh dari menjumlahkan bilangan tetap terhadap suku sebelumnya.

Beda (b) = U2 – U1 = U3 – U2 dst

Rumus Suku ke-n: Un = a + (n – 1 )b

Jumlah n suku pertama: Sn = n/2 ( a + Un )

a = suku pertama

b = beda ( selisih )

n = banyaknya suku

Un = seku ke-n yaitu suku terakhir

2. Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah barisan yang perbandingan di antara dua suku yang berurutan tetap.dapat di tulis :

U2 : U1 = U3 : U2

Barisan: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Deret: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …

Rumus Suku ke-n: Un =a . rn-1

Jumlah n suku pertama:

Sn = a( rn – 1 ) / r – 1, untuk r ≥ 1

Sn = a( 1 – rn ) / 1 – r, untuk r < 1

pengempomkan bilangan asli sendiri tak ada ahabisnya jadi akan terbuka banyak peluang untuk membuat himpunan-himpunan baru. semua itu bertujuan untuk lebih mudah mengelola bilangan asli, mempelajari sifat-sifatnya dan mengolah dan merkayasanya demi penggunaan dan penelitian matematika yang lebih baik.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *