deret aritmatik simetris

di sebuah buku matematika ada cuplikan keajaiban matematika. tulisannya seperti ini:
1 = 1 = 12
1+2+1 = 4 = 22
1+2+3+2+1 = 9 = 32
1+2+3 + 4 +3+2+1 = 16 = 42

deret ini bisa diteruskan sampai tak hingga. deret ini aku sebut deret aritmatik simetris. aritmatik karena berisi angka-angka berurutan dengan selisih yang sama, yaitu berselisih 1. simetris karena dalam ruas kiri terdapat deret di sebelah kiri n dan kanan n di mana kedua deret nilainya sama.
wah! ternyata keren! kok bisa kayak gitu ya?
karena deret itu sederhana, bisa dibuktikan dengan mudah. pada n = 1 terbukti. begitu juga pada n = 2, 3, 4 seperti di atas. lalu bagaimana membuktikan pada sembarang n, di mana n = bilangan asli?

untuk membuktikannya ada dua cara, pertama rumusan, kedua induksi matematika. cara induksi matematika sudah diterangkan pada posting yang lalu. jadi sekarang dengan rumusan, maksudku mencari cara kerja, kenapa bisa seperti itu dsb.
begini:
ruas kiri persamaan di atas dibagi menjadi 3:
a. deret aritmatika, mulai dari 1 sampai (n-1),
b. bilangan n
c. deret (n-1) sampai 1.
1 + 2 + 3 + … + (n-1) = (n – 1)(n – 1+ 1)/2 = (n-1)n/2
bagian c = a sehingga a + b + c = (n-1)n/2 + n + (n-1)n/2 = (n-1)n + n = n2 – n + n = n2
akhirnya terbukti 1 + 2 + 3 + … + n + … + 3 + 2 + 1 = n2

satu cara saja cukup untuk membuktikan kebenaran rumus ini. kalau kurang puas bisa mencoba membuktikan dengan cara induksi. kalau ada yang mau menyampaikan jawaban saya terima.
sekarang kalau udah tau caranya bisa tenang setiap kali tahu persamaannya. sebab rahasianya sudah terkuak. waktunya mencari keajaiban matematika yang lain, yang masih menjadi misteri.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *