deret harmonik

dulu waktu di perpustakaan sekolahku aku menemukan deret seperti ini:

keren! kalau kayak gitu kita bisa menghitung nilai sin, cos dan tan suatu sudut tanpa kalkulator dan tabel trigonometri. solusi ini buat orang yang gak punya alat bantu di atas. mklum aku dulu belum punya kalkulator scientific. meskipun aku punya buku tabel matematika, tapi sekali-kali aku ingin mencoba menghitung sendiri. setidaknya membuktikan apakah perhitungan kalkulator dan tabel itu benar. walau jalan aritmatika-nya lebih rumit aku mungkin mau mencobanya.

kemudian di buku matematika perguruan tinggi aku menemukan deret lebih banyak lagi. misalnya seperti ini:

deretnya semakin banyak. semakin hebat deh. ada deret pangkat, deret ekspansi, deret taylor, deret fourier, deret maclaurin. proses menghitungnya lebih rumit, tapi aku melihatnya lebih sederhana.

aku mencoba menghitung jumlahnya. tunggu!

menghitung jumlahnya pakai rumus yang mana ya?

pakai rumus deret aritmatik atau geometrik?

di SMA sudah diajari rumus deret keduanya. tapi deret di atas termasuk yang mana?

apakah termasuk deret geometrik?

deret geometri sudah diajarkan rumusnya tapi dalam deret geometri yang berbeda hanya rasio-nya, sedangkan koefisiennya tetap. kalau ada pembilang dan penyebut, keduanya tetap sedangkan dalam deret di atas pembilang dan penyebutnya berubah.

terus aku ingat dalam materi matematika olimpiade dijelaskan ada rataan aritmatik, geometrik dan harmonik. rumusnya seperti ini:

rataan aritmatik dua bilangan a dan b = (a+b)/2

rataan geometrik dua bilangan a dan b = √(a.b)

rataan harmonik dua bilangan a dan b = 2/(1/a +1/b)

aku jadi kepikiran. kalau ada barisan aritmatik dan geometrik, jangan-jangan ada barisan harmonik juga lalu ada deret harmonik juga?

mungkin aja. aku cek di google. ternyata ada. bener dah hipotesisku. begini:

deret harmonik adalah deret yang setiap sukunya berupa pecahan dengan pembilangnya satu. contohnya: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ….

deret ini divergen karena jumlah deretnya tak terbatas menuju tak hingga. Kita akan menunjukkannya seperti berikut ini

1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + …

Sekarang kita perhatikan beberapa suku pada deret tersebut.

(1/3) + (1/4). Jika kita jumlahkan akan menghasilkan 7/12. Kita tahu bahwa 7/12 > 1/2. Lebih mudah memahaminya, yaitu 1/3 > 1/4. Jika kedua ruas kita tambahkan 1/4 maka akan didapatkan 1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4

1/3 + 1/4 > 2/4

Begitu juga untuk

(1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) > 4/8

(1/9) + (1/10) + (1/11) + … + (1/16) > 8/16

Sehingga bisa kita tuliskan : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) + (1/9) + (1/10) + (1/11) + … > 1 + (1/2) + (2/4) + (4/8) + (8/16) + …

= 1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + …

Jelas bahwa jumlahnya akan semakin meningkat. Jumlahnya pun tak bisa ditentukan. Sehingga deret harmonik ini adalah deret yang divergen.

masalahnya kemudian timbul. sama seperti deret yang di awal-awal di atas. deret sin, cos, tan, ln2 menggunakan deret harmonik tapi hasilnya konvergen walau menuju bilangan irasional seperti e, π dsb.

ada lagi begini. aku nemu di buku olimpiade matematika ada soal begini:

buktikan bahwa:

1/(1.2.3) + 1/(4.5.6) + 1/(7.8.9) + … + 1/(n.(n+1).(n+2) = n(n+3)/4.((n+1)(n+2)

1/1.4 + 1/4.7 + … + 1/(3n-2).(3n+1) = n/(3n+1)

1/12 + 1/22 + … + 1/n2 ≤ 2 – 1/n

1/1 -1/3 + 1/5 – 1/7 + … = π/4
1/2.3.4 + 1/4.5.6 + 1/7.8.9 + … = (π-3)/4
1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … = e

aku nggak pingin jelasin hasilnya. aku belum buktiin. contoh di atas cuma jadi bukti kalau deret harmonik bisa menjadi konvergen.

ada lagi gini. gimana kalau deret divergen tanda plus-nya diganti selang-seling  jadi plus min. jadi seperti ini:

1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … =π/4

deret di atas konvergen.

kesimpulannya:

  • ada yang namanya deret harmonik. deret harmonik adalah deret dengan suku berupa pecahan dengan pembilang berupa bilangan 1.
  • deret harmonik pada dasarnya divergen.
  • tapi dengan modifikasi rumus dan pengembangan hasilnya bisa menjadi konvergen, walaupun hasilnya mendekati bilangan irasional. jadi tidak bisa diketahui hasilnya secara tepat.

tulisan ini belum diuji kebenarannya. jadi aku akan memeriksakan hasilnya ke blogger matematikawan dulu. jadi data-data di sini belum pasti benar. mohon dimaklumi.

 

 

 

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *