bujur sangkar ajaib

bujur sangkar ajaib adalah bujur sangkar yang berisi angka-angka yang kalau angka-angka di setiap baris, kolom dan diagonalnya dijumlahkan semua hasilnya sama. contohnya berikut:

 

8 1 6
3 5 7
4 9 2

angka-angka di atas setiap barisnya kalau dijumlahkan hasilnya sama, yaitu 15. begitu juga setiap kolomnya kalau dijumlahkan dari atas ke bawah sama dengan 15.  jumlah setiap diagonalnya pun sama-sama 15. bukankah itu ajaib?

selain di atas ada juga bujur sangkar lain seperti berikut:

1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16

bujur sangkar ajaib 4 baris dan kolom di atas disebut bujur sangkar ajaib 4×4. bujur sangkar ajaib di atas disebutkan di novel “the lost symbol” karya Dan Brown. bujur sangkar ajaib 4×4 di atas dilukis dalam lukisan berjudul melancholia karya Albrecht Durer. gambarnya sebagai berikut:

di atas malaikat di atas ada sebuah kotak di bawah lonceng. mungkin kotak itu belum terlihat jelas. jadi biar aku perbesar. hasilnya jadi seperti ini:

sekarang kembali ke bujur sangkar ajaib. bujur sangkar ajaib dikelompokkan menurut banyaknya baris dan kolom. karena bujur sangkar, maka banyaknya baris dan kolom otomatis harus sama seperti 3 x 3, 4 x 4, 5 x 5 dan seterusnya. ukuran banyaknya baris dan kolom itu disebut orde. jadi bujur sangkar ajaib 3 baris dan 3 kolom disebut bujur sangkar 3 x 3 atau orde 3. bujur sangkar ajaib pada lukisan Melancholia di atas di sebut bujur sangkar ajaib orde 4. ada bujur sangkar ajaib  orde 5, 6, 7, 8 dan seterusnya seperti berikut:

17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

dan ini membawa kita pada bujur sangkar ajaib istimewa yang disebut bujur sangkar ajaib franklin orde 8. bujur sangkar ini ditemukan oleh Benjamin Franklin, salah satu tokoh kemerdekaan Amerika Serikat, yang menguji petir dengan layang-layang yang digantungi kunci tersebut. kabarnya dia freemason juga. keterangan ini disebut dalam novel “the lost symbol” juga. bujur sangkar ajaib franklin orde 8 sebagai berikut:

bujur sangkar ajaib ini ditemukan olehnya pada tahun 1750. setiap setengah baris dan kolom bujur sangkar ini berjumlah 130. keempat sudutnya ditambah tengahnya berjumlah 260. Sebagai tambahan, diagonal yang bengkok (seperti diagonal 52-3-5-54-10-57-63-16) juga berjumlah 260.

bujur sangkar ajaib dibagi menjadi 3:

a. berorde ganjil. misalnya 3,5, 7, 9 dst. bujur sangkar ini yang paling mudah cara membuatnya.

b. berorde genap perpangkatan 2 seperti 4, 8, 16, dan seterusnya.

c. berorde genap kelipatan ganjil seperti 6, 10, 12, dan seterusnya.

sebagai catatan bujur sangkar hanya boleh diisi angka-angka yang berbeda. tidak boleh ada angka yang sama dalam bujur sangkar. misalnya bujur sangkar ajaib berorde n maka berisi n2 angka. umumnya orang mengisi dengan angka 1 s.d. n2. hal ini benar  walau tidak harus begitu. pada versi pengembangan angka-angka ini bisa sangat banyak. kali ini kita bahas yang dasar. anggaplah bujur sangkar ajaib berorde n berisi angka-angka 1 s.d. n2.

sekarang saya akan memberikan panduan membuat bujur sangkar ajaib, tapi pedoman ini umum. jadi belum spesifik ke orde berapa dan sampai menata seperti apa. pedoman ini berlaku untuk semua bujur sangkar ajaib. cara membuatnya sebagai berikut:

a. hitunglah jumlah 1 + 2 + 3 + … + n2. berdasarkan deret artimatik hasilnya = n2(n2 + 1)/2.

b. bagilah jumlah itu dengan n. hasilnya n2(n2 + 1)/2 : n = n(2+1)/2.

c. buatlah susunan penjumlahan yang menghasilkan n(n2+1)/2 dengan sebanyak n angka. peluangnya akan banyak. kita harus mencoba-coba banyak penjumlahan dan susunan untuk mencapai hasil yang sama.

contoh bujur sangkar orde 3.

a. jumlahnya 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45.

b. 45 : 3 = 15. jadi jumlahnya harus 15.

c. 1 + 8 + 6 = 15. 2 + 7 + 6 = 15. dan seterusnya. setelah itu kita coba tempatkan di dalam bujur sangkar. kita coba jumlah angka-angka setiap baris, kolom dan diagonal. apakah benar sama semua, menjadi 15? jika sama 15 semua maka susunan bujur sangkar kita sudah benar. tapi jika ada yang tidak pas, maka setidaknya 2 penjumlahan tidak benar.

sebagai tips tambahan lagi, pada bujur sangkar orde ganjil, angka 1 atau angka terkecil diletakkan pada baris pertama kolom paling tengah. angka yang paling besar diletakkan di baris paling bawah kolom paling tengah. jadi membentuk satu garis lurus. dan tepat di tengah bujur sangkar adalah angka yang paling tengah, bilangan senilai (n2 +1)/2.

jika kita telah menguasai dasar dari bujur sangkar ajaib maka kita bisa memodifikasikannya dan mengembangkannya menjadi bentuk baru yang berbeda. misalnya:

a. mengalikan semua bilangan dalam bujur sangkar ajaib dengan angka tertentu yang sama. misalnya 7. hasilnya :

56 7 42
21 35 49
28 63 14

b. merotasikannya. jadinya sebagai berikut:

6 7 2
1 5 9
8 3 4

bujur sangkar ini tidak punya kegunaan khusus. dia hanya sebagai permainan dan hiburan sekaligus latihan meningkatkan kecerdasan otak. istilahnya bujur sangkar ajaib ini adalah materi matematika hiburan biar nggak gabut dan hiburan yang nggak sia-sia. main PS aja bisa masak penjumlahan nggak bisa? ya nggak?

dengan matematika hiburan seperti bujur sangkar ajaib ini kita tidak melihat hanya sebagai pelajaran sekolah yang serius, angker, rumit dan penuh dengan rumus, tapi ada permainan, teka-teki dan hiburannya juga. jadi kita happy dan fun dengan matematika. gak perlu takut matematika lagi ya guys?

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *